Exercices : intro ev

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Contenu du cours

Exercice 1

1. Déterminer deux vecteurs $u$ et $v$  de l'espace vectoriel de  $\mathbb{R}^{4}$ sachant que

leur somme est le vecteur $\left(6,2,4,9\right)$ et que leur différence est le vecteur $\left(8,-4,4,-3\right)$ .

1. Déterminer l'opposé de chaque vecteur.

2. Soit w = 2u + 3v. Déterminer w.

Exercice 2

Soient $E = \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}, \; x + y + z \geq 2 \right\}$ et $F = \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}, \;  y = x^{2} \right\}$.

Montrer que E et F ne sont pas des $\mathbb{R}$-espaces vectoriels.

Exercice 3

Soit $G = \left\{(x, y, z) \in\mathbb{R}^{3}, \; (x + 1)^{2}+ (y - 1)^{2} + (z - 1)^{2}= x^{2}+ y^{2}+ z^{2} + 3 \right\}$.

$G$ est-il un $\mathbb{R}$-espace vectoriel ?